Conjuntos

Matemática

CapaRepresentação de ConjuntosConjunto Vazio, Conjunto Unitário e Conjunto UniversoPertinênciaIgualdade de ConjuntosSubconjuntosReferências

MATEMÁTICA Conjuntos

Caro estudante, para iniciar o estudo sobre conjuntos, considere as imagens a seguir:

1. Buquê de flores
2. Grupo de pessoas
3. Rebanho de ovelhas

Você sabe o que essas imagens têm em comum?

Elas representam coleções de objetos bem definidos, que podem ser denominados elementos ou membros de um conjunto.

Sempre que iniciamos o estudo de uma teoria, partimos de alguns conceitos admitidos intuitivamente. E no estudo de conjuntos não é diferente, pois trabalhamos com conceitos primitivos, que devem ser compreendidos e aceitos sem definição.  Assim, a palavra conjunto nos remete a classificar algo a partir de características comuns. Por exemplo, uma coleção de objetos é um conjunto, e os objetos que formam essa coleção são os elementos.

Observe os três conjuntos seguintes:

{3,4,5}
{3,4,5,3,4,5}
{x}: x é um número inteiro tal que 2 < x < 6

Eles representam de formas diferentes o mesmo conjunto! Assim, temos que:

- Um conjunto é completamente determinado por seus elementos. 

- A ordem na qual os elementos são listados é irrelevante.

- Os elementos de um conjunto podem aparecer mais de uma vez no conjunto.

Representação de Conjuntos

Os elementos de um conjunto são representados por letras minúsculas (a, b, c ... z), enquanto os conjuntos são indicados por letras maiúsculas (A, B, C ... Z).

Exemplo:

A = {a,b,c,d....}.

Um conjunto pode ser representado de três maneiras diferentes:

1.

Por extensão: Os elementos ficam entre chaves, separados por vírgulas. Exemplo:
A = {a, e, i, o, u}

2.

Por compreensão: É escrito por meio de uma propriedade que caracteriza os elementos que o compõem por uma lei de formação.
Exemplo: A = {x/ x é vogal}

3.

Por desenhos: A figura que representa um conjunto é o diagrama de Venn.

Representação do conjunto A
SAIBA MAIS
Fonte: Elaborada pela autora
SAIBA MAIS
O diagrama de Venn recebeu esse nome em homenagem ao inglês John Venn (1834-1923), pois ele utilizou esta maneira para representar conjuntos em um artigo de 1876 e em seu livro Symbolic Logic, de 1894.

Conjunto Vazio, Conjunto Unitário e Conjunto Universo

Conjunto Unitário: é o conjunto que possui apenas um elemento. Exemplo: Conjunto da solução da equação 5x + 1 = 26. Este conjunto possui apenas um elemento, pois a solução da equação dada é x = 5.
Conjunto Vazio: é aquele que não possui elemento algum. Podemos representá-lo com o símbolo Ø ou {  }. Exemplo: {x / x é ímpar e múltiplo de 2}, o conjunto não tem nenhum elemento, pois não há nenhum número que seja ímpar e múltiplo de 2.
Conjunto Universo: é o conjunto ao qual pertencem todos os elementos considerados em uma situação. Ele é representado pela letra U. Por exemplo, se procuramos a solução de uma equação, o conjunto universo é R (conjunto dos números reais). Outro exemplo: Considerando o conjunto A = {1,2,3} e a equação x + 1= 3, temos que o número 2 do conjunto A é o conjunto universo da equação.
Agora precisamos estudar alguns termos muito importantes utilizados no estudo de conjuntos. Vamos lá?

Pertinência

Quando um elemento pode ou não pertencer a um conjunto. Usamos o símbolo   quando o número pertence a determinado conjunto e o símbolo   quando ele não pertence ao conjunto.

Exemplo:

Seja A o conjunto dos números ímpares menores que 9. Portanto, A = {1, 3, 5, 7}.

Podemos afirmar que 3 E A, ou seja, o número 3 pertence ao conjunto A, e 8 E A, o número 8 não pertence ao conjunto A, visto que não é ímpar.

8
1
5
7
3
Fonte: Elaborada pela autora
Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos são considerados iguais quando ambos possuem os mesmos elementos:(A é igual a B).
A negação da igualdade é indicada por A ≠ B (A é diferente de B).

Exemplos:

{a,b,c,d} = {d,c,b,a}

{2,4,6,8....}= {x/ x é inteiro, positivo e par}

Subconjuntos
O conjunto A é um subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertencer também a B. Usamos a notação AB para indicar que “A é um subconjunto de B” ou que “A está contido em B”. O símbolo  é o sinal de inclusão.

Exemplo:

Dados os conjuntos A= {3,4,5} e B = {1,2,3,4,5,6}, podemos afirmar que A C B ou que B C A. Lê-se: “B contém A”, pois cada elemento pertencente a A também pertence a B.

Representação por diagrama de Venn
Fonte: Elaborada pela autora
Observações:

- Para todo conjunto A, tem-se Ø  C A.

- Se A C B e B C A => A = B.

- Escrevemos que A C B (“A não está contido em B”) quando A não for subconjunto de B.

No estudo dos conjuntos, utilizamos com frequência os símbolos extraídos da lógica. Relembre alguns deles no quadro a seguir: 

Símbolo
Significado
s
Tal que
s
Existe ao menos um
s
Existe um único
s
Qualquer que seja ou para todo
s
Implica
s
Equivalente

Esses símbolos simplificam a linguagem matemática e a universalizam, ou seja, não importa o idioma em que o texto está escrito, pois o significado é o mesmo. 

Referência

Para saber mais sobre os conceitos básicos de conjuntos, assista à aula do Prof. Álvaro de Jesus do canal Descomplica. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=0aUEDxYjZg8>. Acesso em: 2 jan. 2016.

Aprofunde seus conhecimentos sobre conjuntos acessando o livro didático de Matemática. Disponível em: <https://goo.gl/jNzEpD>. Acesso em: 2 jan. 2016.